De gulden snede is een verhouding die sinds de oudheid als de meest perfecte en harmonieuze wordt beschouwd. Het vormt de basis van veel oude bouwwerken, van standbeelden tot tempels, en komt veel voor in de natuur. Tegelijkertijd komt deze verhouding tot uiting in verrassend elegante wiskundige constructies.
instructies:
Stap 1
De gulden snede wordt als volgt gedefinieerd: het is een zodanige verdeling van een segment in twee delen dat het kleinere deel op dezelfde manier naar het grotere verwijst als het grotere deel naar het hele segment verwijst.
Stap 2
Als de lengte van het gehele segment als 1 wordt genomen en de lengte van het grootste deel als x, dan wordt de gezochte verhouding uitgedrukt door de vergelijking:
(1 - x) / x = x / 1.
Door beide zijden van de verhouding met x te vermenigvuldigen en de termen over te dragen, krijgen we de kwadratische vergelijking:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Stap 3
De vergelijking heeft twee echte wortels, waarvan we natuurlijk alleen geïnteresseerd zijn in het positieve. Het is gelijk aan (√5 - 1) / 2, wat ongeveer gelijk is aan 0, 618. Dit getal drukt de gulden snede uit. In de wiskunde wordt het meestal aangeduid met de letter φ.
Stap 4
Het getal φ heeft een aantal opmerkelijke wiskundige eigenschappen. Zelfs uit de oorspronkelijke vergelijking blijkt bijvoorbeeld dat 1 / φ = φ + 1. Inderdaad, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Stap 5
Een andere manier om de gulden snede te berekenen is door een oneindige breuk te gebruiken. Uitgaande van een willekeurige x, kunt u achtereenvolgens een breuk construeren:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
enz.
Stap 6
Om berekeningen te vergemakkelijken, kan deze breuk worden weergegeven als een iteratieve procedure, waarbij u, om de volgende stap te berekenen, één moet optellen bij het resultaat van de vorige stap en één moet delen door het resulterende getal. Met andere woorden:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Dit proces convergeert en de limiet is φ + 1.
Stap 7
Als we de berekening van het omgekeerde vervangen door de extractie van de vierkantswortel, dat wil zeggen, we voeren een iteratieve lus uit:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), dan blijft het resultaat ongewijzigd: ongeacht de aanvankelijk gekozen x, convergeren de iteraties naar de waarde φ + 1.
Stap 8
Geometrisch kan de gulden snede worden geconstrueerd met behulp van een regelmatige vijfhoek. Als we er twee kruisende diagonalen in tekenen, zal elk van hen de andere strikt in de gulden snede verdelen. Deze waarneming behoort volgens de legende toe aan Pythagoras, die zo geschokt was door het gevonden patroon dat hij de juiste vijfpuntige ster (pentagram) als een heilig goddelijk symbool beschouwde.
Stap 9
De redenen waarom het de gulden snede is die een persoon het meest harmonieus lijkt, zijn onbekend. Experimenten hebben echter herhaaldelijk bevestigd dat de proefpersonen die de opdracht kregen om het segment in twee ongelijke delen te verdelen, dit het mooist doen in verhoudingen die heel dicht bij de gulden snede liggen.
